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SIR-Modell

In der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, bezeichnet man als SIR-Model (Susceptible-Infected-Recovered-Model) einen klassischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, der eine Erweiterung des SI-Modells darstellt.

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Dabei wird eine in ihrer Gesamtgröße N als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen (susceptible individuals S), reversibel erkrankte und ansteckende Individuen (infectious individuals I) und bereits immunisierte Individuen (resistant indiviuals R) und die Ausbreitung der betrachteten Krankheit meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer Erkrankungsrate c und einer Gesundungsrate w formuliert.

$\frac{dS} {dt} = -cIS + wI$

$\frac{dI} {dt} = cIS -wI$

$\frac{dR} {dt} = wI$

Um dimensionlose Größen zu erhalten sei vereinbart:

$u_1 := \frac{S}{N} , u_2 := \frac{I}{N} , u_3:= R/N , \theta = wt , r:= \frac{cN}{w}$

Damit schreiben sich obige Gleichungen als:

$\frac{du_1} {d\theta} = -ru_1u_2 + u_2$

$\frac{du_2} {d\theta} = ru_1u_2 - u_2$

$\frac{du_3} {d\theta} = u_2$

Betrachte nun die Projektion des Zustandsraumes auf die u_1u_2-Ebene: Für r > 1 schneidet, wie man an der Steigung abließt, die Isokline (von u_2) $r u 1 - 1 = 0$ das Dreieck $u 1, u 2 | u 1 + u 2 < = 1$ und die Krankeitsverbreitung hat einen Fixpunkt. Für r < 1 existiert dieser Fixpunkt nicht und die Krankheit verschwindet.

Siehe auch

Mathematische Modellierung der Epidemiologie Einführender Artikel
SI-Modell Ansteckung ohne Gesundung
SIS-Modell Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung
Dynamisches System Mathematischer Oberbegriff

Literatur

N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. 1. Auflage. Springer, Berlin 6. Mai 2003, ISBN 185233536X.

Kategorie: Theoretische Biologie

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