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SIR-Modell



In der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, bezeichnet man als SIR-Model (Susceptible-Infected-Recovered-Model) einen klassischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, der eine Erweiterung des SI-Modells darstellt.

Dabei wird eine in ihrer Gesamtgröße N als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen (susceptible individuals S), reversibel erkrankte und ansteckende Individuen (infectious individuals I) und bereits immunisierte Individuen (resistant indiviuals R) und die Ausbreitung der betrachteten Krankheit meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer Erkrankungsrate c und einer Gesundungsrate w formuliert.


\frac{dS} {dt} = -cIS + wI

\frac{dI} {dt} = cIS -wI

\frac{dR} {dt} =  wI

Um dimensionlose Größen zu erhalten sei vereinbart:

u_1 := \frac{S}{N} , u_2 := \frac{I}{N} , u_3:= R/N , \theta  = wt  ,  r:= \frac{cN}{w}

Damit schreiben sich obige Gleichungen als:

\frac{du_1} {d\theta} = -ru_1u_2 + u_2

\frac{du_2} {d\theta} = ru_1u_2 - u_2

\frac{du_3} {d\theta} = u_2

Betrachte nun die Projektion des Zustandsraumes auf die u_1u_2-Ebene: Für r > 1 schneidet, wie man an der Steigung abließt, die Isokline (von u_2) ru1 − 1 = 0 das Dreieck u1,u2 | u1 + u2 < = 1 und die Krankeitsverbreitung hat einen Fixpunkt. Für r < 1 existiert dieser Fixpunkt nicht und die Krankheit verschwindet.

Siehe auch

Literatur

  • N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. 1. Auflage. Springer, Berlin 6. Mai 2003, ISBN 185233536X.
 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel SIR-Modell aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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