Modulationsübertragungsfunktion

Die Modulationsübertragungsfunktion oder Modulationstransferfunktion (MTF, englisch Modulation Transfer Function), manchmal auch die verwandte Kontrastübertragungsfunktion (KÜF) beschreibt die Qualität der Abbildung eines bildgebenden Systems (Objektiv, Teleskop, Röntgenanlage usw.).

Auflösung, Kontrast und Rauschen sind die einfachsten Parameter, um die Abbildungsqualität (Informationsgehalt einer Abbildung) zu beschreiben. Die Auflösung ist dabei definiert als der kleinste Abstand, unter dem zwei gleich helle Objekte noch getrennt dargestellt werden. Diese Auflösung ist von der Form und dem Kontrast der Objekte abhängig, die deshalb angegeben werden müssen (z.B. werden in der Praxis schwarzweiße Linienpaare verwendet). Auch die Eigenschaft "getrennt dargestellt" ist unklar. Deshalb wurde die 'Modulationsübertragungsfunktion' als mathematisch exakte Beschreibung der Ortsauflösung eingeführt. Gemessen wird die Übertragung einer sinuswellenförmigen Modulation des Objektkontrastes in den Bildkontrast.

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Definition

MÜF = Bildkontrast(f) / Objektkontrast(f) mit f = Ortsfrequenz der Modulation.

Die KÜF ist mathematisch anders definiert, weil sie von einer Rechtecksfunktion statt einer Sinusfunktion ausgeht. Weil es einfacher ist, Proben mit definiert starkem Kontrast herzustellen, wird die KÜF häufiger direkt gemessen. Die MÜF wird üblicherweise indirekt aus der Punktspreizfunktion bestimmt.

Komplexwertige Übertragungsfunktion

Die MÜF ist bei herkömmlichen Abbildungen eine positive, reellwertige Funktion, die den Zusammenhang der Intensitäten beschreibt. Sie kann aber auch negativ werden, was sich z.B. bei Mikroskopaufnahmen eines Objektes außerhalb der Fokusebene als Inversion bemerkbar machen kann. Bei den Abbildungen, die Phaseninformationen beinhalten (z.B.: Holografie, Adaptive Optik, Optische Kohärenztomografie), also Verfahren, die die Welleneigenschaften des Lichtes berücksichtigen, ist dieser einfache Zusammenhang nicht mehr gegeben und die komplexwertige optische Übertragungsfunktion (OÜF, engl. optical transfer function - OTF) muss mit einem Phasenterm, der Phasenübertragungsfunktion PÜF (engl. phase transfer function - PTF), erweitert werden.

mit

(ξ,η) sind die optischen Frequenzen in x und y-Richtung.

Hiermit ergibt sich der Zusammenhang mit der Punktspreizfunktion (PSF, engl. point spread function), die das Bild eines infinitesimal kleinen Objektpunktes darstellt, mit Hilfe der Fouriertransformation:

Anwendungen

In der Röntgendiagnostik muss die MÜF für die bildgebenden Systeme regelmäßig geprüft werden. Kenngrößen sind die Grenzauflösung (Ortsfrequenz, bei der die Modulation unter 2 % sinkt) und die charakteristische Modulation (Modulation in Prozent bei der Ortsfrequenz 1 Linienpaar/mm). Bei der Entwicklung von Linsensystemen oder Optiken ist die Berechnung und Optimierung der optischen Übertragungsfunktion essentiell und entscheidet über die Güte des Gerätes. Professionelle Kameras verfügen über aufwendige Linsensysteme um bei hoher Lichtausbeute möglichst geringe Abbildungsfehler zu erzeugen, was mit der MÜF spezifiziert wird. Hat z.B. das Objektiv einen sehr starken Abfall zu hohen Frequenzen hin, dann hilft kein weiteres Steigern der Auflösung des Detektors um eine bessere Auflösung zu erreichen.

Darstellung

Die Abbildungsleistung z.B. einer Optik oder einer Fernsehkette wird in einem Diagramm angegeben, in dem der Kontrast gegen die Ortsfrequenz eines Stufengitters (Lp/mm) als Kontrastübertragungsfunktion (KÜF) aufgetragen wird - Im Gegensatz zur Modulationsübertragungsfunktion, die auf der Übertragung eines sinusförmigen Ursprungssignals basiert ist die KÜF nicht über die Fouriertransformation mit der PSF verknüpft.

Der Helligkeitsverlauf eines Profils über ein Linienraster ist zunächst eine fast rechteckige Kurve. Die Abbildung z.B. durch ein Objektiv macht die Kanten allerdings unscharf, wofür Linsen- und andere optische Fehler sowie die Beugung des Lichts verantwortlich sind. Die Strukturen werden mit zunehmender Feinheit „flauer“. Nehmen diese Effekte gegenüber einer sehr feinen Linienstruktur überhand, wird diese schließlich nur noch grau abgebildet. Die feinsten Strukturen, die gerade noch zu erkennen sind, stellen die Auflösungsgrenze dar.

Bezeichnet man die Helligkeit von Kalkweiß mit 100 Prozent und die Dunkelheit der tief schwarzen Fläche mit Helligkeit 0 Prozent, dann wird der Helligkeitsunterschied mit zunehmender Linienpaardichte immer kleiner, der Kontrast wird geringer.

Die Abbildungsleistung z. B. einer Optik oder einer Fernsehkette wird in einem Diagramm angegeben, in dem der Kontrast gegen die Ortsfrequenz (Lp/mm) aufgetragen wird.

In der Optik hat auch der Abstand des gemessenen Punktes von der Bildmitte großen Einfluss. Denn bei großen Bildwinkeln nimmt die Modulation ebenfalls ab. Dabei ist nun auch die Richtung der Linienstrukturen entscheidend - insbesondere ob sie tangential oder sagittal zum Bildkreis verlaufen. Ein typisches MTF-Diagramm besitzt dann Kurven für beide Richtungen. Es ist üblich, die Kurve für tangentiale Strukturen strichliert und für sagittale Linien durchgezogen darzustellen.

Beispiele

Die Bedeutung der Kontrastübertragungsfunktion für die Abbildungsqualität kann gut an Beispielen veranschaulicht werden. In der unteren Bilderfolge sind jeweils ein Siemensstern (da 2 dimensionale, räumliche Frequenzänderung) und eine Hausfassade mit verschiedenen Kontrastfunktionen dargestellt. Die oberen beiden Abbildungen sind unverändert. Die Kontrastfunktionen der beiden Originale und der darunter befindlichen jeweils fünf modifizierten Abbildungen sind in der folgenden Funktionsübersicht qualitativ dargestellt, wobei von der idealisierten Annahme ausgegangen wurde, dass die Kontrastfunktion von typischen, abzubildenden Objekten ungefähr einer Hyperbel entspricht. Bei allen Darstellungen außer der grünen (strichpunktiert) und der roten (schraffiert) ist bei der Grenzfrequenz (Ortsfrequenz = 1) derselbe Kontrast (0,1) vorhanden. Die Detailschärfe kann gut in der Mitte der Siemenssterne und bei der Abbildung der Hausfassade an den Lamellen der Türen in der Bildmitte erkannt werden.

Siehe auch

• Punktspreizfunktion