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MedianMedian (oder Zentralwert) bezeichnet eine Grenze zwischen zwei Hälften. In der Statistik halbiert der Median eine Stichprobe. Gegenüber dem arithmetischen Mittel, auch Durchschnitt genannt, hat der Median den Vorteil, robuster gegenüber Ausreißern (extrem abweichenden Werten) zu sein und sich auch auf ordinal skalierte Variablen anwenden zu lassen. Ferner wird in der Geometrie die Seitenhalbierende eines Dreiecks als Median bezeichnet, weil sie das Dreieck in zwei flächengleiche Hälften teilt. Der Begriff median als anatomische Lagebezeichnung bedeutet in der Mitte liegend oder zur Mitte hin (ausgerichtet oder gelagert). Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
Median einer StichprobeEin Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen in der Stichprobe einen Wert < m und höchstens die Hälfte einen Wert > m hat. Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach („geordnete Stichprobe“), so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieser Folge liegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einziges mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) ein Median der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft. Bei kardinal skalierten Messgrößen (wenn es also sinnvoll möglich ist, die Differenz von Messwerten zu berechnen) verwendet man im Falle einer geraden Anzahl Beobachtungen meist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Beobachtungswerte: Oft möchte man dagegen sicherstellen, dass der Median in jedem Fall eines der Elemente der Stichprobe sein soll. In diesem Fall wird alternativ zu dieser Definition bei einer geraden Anzahl von Elementen entweder der Untermedian oder der Obermedian genutzt und als Median bezeichnet. EigenschaftenDer Median , und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte mit , minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt für gilt: Beispiele
Median einer Verteilung
Eine Verallgemeinerung des Begriffes liefert die stochastische Betrachtung einer Zufallsvariable X bzw. deren Verteilungsfunktion F. Dort ist der Median das 0,5-Quantil, also
Übertragen auf die oben genannte Stichprobe wäre nach dieser Definition der Median vergleichbar mit dem dort erwähnten Obermedian.
Bei der Dreiecksverteilung ist der Median . Denn dies ist der x-Wert, der die Fläche unter der Dichtefunktion in zwei gleich große Flächen teilt: . Median von gruppierten DatenVor allem in den Sozialwissenschaften wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern jene nur in Intervallen gruppiert vorliegen. So wird beispielsweise bei Umfragen selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in welchem das Gehalt liegt. Die Berechnungsvorschrift für diese Schätzung unterscheidet sich deswegen von der oben vorgestellten exakten Berechnung des Medians. Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, welche in aller Regel nicht bekannt ist. BeispielEinkommen:
Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. m = 2), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median:
Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der Summenkurve. Hier wird der Abzissenwert gesucht, der zum Ordinatenwert gehört. Bei kleinerem und geradem n kann auch stattdessen der Ordinatenwert gewählt werden. Vorteile des MediansDurch seine Resistenz gegen Ausreißer eignet sich der Median besonders gut als Lageparameter für nicht normalverteilte Grundgesamtheiten. Beispiel: Die Einkommen einer Gruppe von 10 Personen verteilen sich wie folgt:
Das Durchschnittseinkommen beträgt EUR 100.900, der Median jedoch nur EUR 1.000. AlternativenEine Alternative zum Median bei der Ermittlung des Masseneinkommens aus einer gegebenen Einkommensverteilung ist die von Amartya Sen vorgeschlagene Wohlfahrtsfunktion. Siehe auch
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Median aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |