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Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen



Die Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen der Theoretischen Biologie sind ein klassischer Ansatz zur Beschreibung der Dynamik einer stark vereinfachten Biozönose, bestehend aus einer nachwachsenden Ressource und mindestens 2 darum konkurrierender Arten. Gegenüber allgemeineren Konkurrenz-Modellen unterscheidet sich dieses Modell also darin, die Ressource relativ explizit in die Modellierung miteinzubeziehen, anstatt nur mittelbar durch die Angabe jeweils einer Kapazität für beide Arten.

Formulierung

Mit Art 1 = x und Art 2 = y und Ressource = r kann das Modell formuliert werden:

\frac{dx}{dt} = xar-m_1x
\frac{dy}{dt} = ybr-m_2y

wobei a,b exponentielle Wachstumsraten sind und die m (mortality rate) Sterberaten darstellen. Die zu einem Zeitpunkt verfügbare Ressourcenmenge wird angenommen als: rmax − (px + qy)

Damit ergibt sich:

\frac{dx}{dt} = xa(r_{max} -(px + qy))-m_1x
\frac{dy}{dt} = yb(r_{max} -(px + qy)) -m_2y

Analyseansatz

Fast man armaxm1 zu einer neuen Konstante a1 zusammen und verfährt für die zweite Art entsprechend (b1),gelangt man zur bekannten Darstellung der Konkurrenz mit expliziter Angabe der Kapazitäten

\frac{dx}{dt} = \frac{x}{a_1}(1-  (px + gy) \frac{a}{a_1})
\frac{dy}{dt} = \frac{y}{a_2}(1-  (px + gy) \frac{b}{a_2})

wie man abliest, ist also insbesondere die Kapazität für die erste Art K_1 = \frac{a_1}{ap} und sinngemäß für die zweite Art.

Diese Analyse dieses Systems erfolgt entsprechend wie im Artikel Konkurrenz (Ökologie).

Literatur

  • Lotka, A. J. (1925): Elements of Physical Biology. Williams and Wilkins, Baltimore. ISBN 0486603466
  • Lotka, A. J.: Analytical Theory of Biological Populations (The Plenum Series on Demographic Methods and Population Analysis). New York: Springer US (Plenum Press), 1998. ISBN 0306459272
 
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