Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen

Die Lotka-Volterra-Konkurrenzgleichungen der Theoretischen Biologie sind ein klassischer Ansatz zur Beschreibung der Dynamik einer stark vereinfachten Biozönose, bestehend aus einer nachwachsenden Ressource und mindestens 2 darum konkurrierender Arten. Gegenüber allgemeineren Konkurrenz-Modellen unterscheidet sich dieses Modell also darin, die Ressource relativ explizit in die Modellierung miteinzubeziehen, anstatt nur mittelbar durch die Angabe jeweils einer Kapazität für beide Arten.

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Formulierung

Mit Art 1 = x und Art 2 = y und Ressource = r kann das Modell formuliert werden:

$\frac{dx}{dt} = xar-m_1x$

$\frac{dy}{dt} = ybr-m_2y$

wobei a,b exponentielle Wachstumsraten sind und die m (mortality rate) Sterberaten darstellen. Die zu einem Zeitpunkt verfügbare Ressourcenmenge wird angenommen als: $r m a x - (p x + q y)$

Damit ergibt sich:

$\frac{dx}{dt} = xa(r_{max} -(px + qy))-m_1x$

$\frac{dy}{dt} = yb(r_{max} -(px + qy)) -m_2y$

Analyseansatz

Fast man $a r m a x - m 1$ zu einer neuen Konstante a1 zusammen und verfährt für die zweite Art entsprechend (b1),gelangt man zur bekannten Darstellung der Konkurrenz mit expliziter Angabe der Kapazitäten

$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{a_1}(1- (px + gy) \frac{a}{a_1})$

$\frac{dy}{dt} = \frac{y}{a_2}(1- (px + gy) \frac{b}{a_2})$

wie man abliest, ist also insbesondere die Kapazität für die erste Art $K_1 = \frac{a_1}{ap}$ und sinngemäß für die zweite Art.

Diese Analyse dieses Systems erfolgt entsprechend wie im Artikel Konkurrenz (Ökologie).

Literatur

Lotka, A. J. (1925): Elements of Physical Biology. Williams and Wilkins, Baltimore. ISBN 0486603466
Lotka, A. J.: Analytical Theory of Biological Populations (The Plenum Series on Demographic Methods and Population Analysis). New York: Springer US (Plenum Press), 1998. ISBN 0306459272

Kategorie: Theoretische Biologie