Logistische Gleichung

Die logistische Gleichung wurde ursprünglich 1837 von Pierre François Verhulst als demografisches Modell eingeführt. Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Infolge einer richtungsweisenden Arbeit des theoretischen Biologen Robert May aus dem Jahr 1976 fand sie weite Verbreitung. Bereits 1825 stellte Benjamin Gompertz in einem verwandten Zusammenhang eine ähnliche Gleichung vor.

Die zugehörige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaumdiagramms (siehe unten) veranschaulicht werden. Eine wichtige Rolle spielt dabei die schon 1975 von Mitchell Feigenbaum gefundene Feigenbaum-Konstante.

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Das demographische Modell

Es werden mathematische Gesetzmäßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellen. Aus der Größe X_n der Population zu einem gewissen Zeitpunkt soll auf die Größe X_{n + 1} nach einer Fortpflanzungsperiode (z. B. nach einem Jahr) geschlossen werden.

Das logistische Modell berücksichtigt zwei Einflüsse:

1. Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population geometrisch; die Individuenzahl im Folgejahr ist proportional zur aktuellen Populationsgröße.
2. Durch Verhungern verringert sich die Population; die Individuenzahl im Folgejahr ist hier proportional zur Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße.

Der erste Prozess allein wird mathematisch beschrieben durch die Gleichung

, mit einem Wachstumsfaktor q_f, der die Fruchtbarkeit der Population wiedergibt,

der zweite Prozess allein durch

, mit einem Faktor q_v, der die Auswirkungen des Hungers beschreibt. G ist dabei die Populationsgröße, bei der alle Individuen in der nächsten Zeitperiode verhungern würden.

Zusammengefasst ergeben diese Prozesse die Gleichung

.

Siehe auch: logistische Funktion

Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße X_n oft als Bruchteil x_n der Maximalgröße G angegeben:

 ; .

G, q_f und q_v werden zusammengefasst zu der Zahl

.

Zusatz: Eine weitere gängige Schreibweise für die logistische Differentialgleichung ist die folgende:

Hierbei ist K die Kapazität des Biotops, d.h. die Population, die bei geeigneter Wahl von r dem Fixpunkt der Dynamik entspricht.

Das mathematische Modell

Damit ergibt sich: ,

x_n ist dabei eine Zahl zwischen 0 und 1. Sie repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr n. Die Zahl x₀ steht also für die Startpopulation (im Jahr 0). r ist immer eine positive Zahl, sie gibt die kombinierte Auswirkung von Vermehrung und Verhungern wieder.

Verhalten in Abhängigkeit von r

Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen für große n beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von r:

• Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
• Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt monoton.
• Mit r zwischen 2 und 3 nähert sich die Population ihrem Grenzwert wellenförmig, d. h. die Werte liegen ab einem bestimmten n abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
• Mit r zwischen 3 und (etwa 3,45) wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten.
• Mit r zwischen und ungefähr 3,54 wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten.
• Wird r größer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein. Die Intervalle mit gleicher Anzahl von Häufungspunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer kleiner; das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstanten. Diese Konstante ist auch in anderen mathematischen Zusammenhängen von Bedeutung. (Zahlenwert: δ ≈ 4,6692016091029906718532038204662016172581...).
• Bei r annähernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
• Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind. Beispielsweise existieren in der Nähe von r = 3,82 bei steigendem r erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte. Ebenso gibt es r-Werte mit 5 oder mehr Häufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf.
• Für r größer 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall [0;1].

Dieser Übergang von konvergentem Verhalten über Periodenverdopplungen zu chaotischen Verhalten ist generell für nichtlineare Systeme typisch, die in Abhängigkeit von einem Parameter chaotisches oder nicht chaotisches Verhalten zeigen. Ein weiteres Beispiel für die Universalität dieses chaostheoretischen Phänomens ist die der Mandelbrot-Menge zugrunde liegende Zahlenfolge.

Graphische Darstellung

Das folgende Bifurkationsdiagramm, bekannt als Feigenbaum-Diagramm, fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters r an und die vertikale Achse die Häufungspunkte für die Folge x_n.

Analytische Lösung

Für den Parameter 2 existiert eine analytische Lösung:

Siehe auch

Chaosforschung, Bénard-Experiment, Wachstumsgesetz, Lotka-Volterra-Gleichung, Wator

Literatur

• B: Gompertz: On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1825, Vol. 115, S. 513-585.
• P. F. Verhulst: Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. In: Corr. Math. Phys. 1838, 10, S. 113-121.