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Logistische Funktion

Die logistische Verteilung charakterisiert eine stetige eindimensionale Verteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der so genannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

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Beschreibung

Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource - die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe. In der Praxis beginnt die Funktion nicht bei 0, sondern zur Anfangszeit liegt schon ein Anfangswert f(0) vor.

Für das Bakterienbeispiel gilt also:

Der begrenzte Lebensraum bildete eine obere Schranke G für die Bakterienanzahl f(t).
Das Bakterienwachstum f'(t) ist proportional zu:
- dem aktuellen Bestand f(t)
- und der noch vorhandenen Kapazität G - f(t)

Diese Entwicklung wird daher durch eine Differentialgleichung der Form

$f'(t)=k \cdot f(t) \cdot \left( G - f(t) \right)$

beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

$f(t)=G \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}$

Der Graph der Funktion beschreibt eine S-förmige Kurve, eine Sigmoide. Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung (genauer: im Wendepunkt) wächst die Population am stärksten, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressourcen gebremst wird.

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung. Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden.

Lösung der Differentialgleichung

$\frac{\operatorname{df}}{\operatorname{dt}}=k \cdot f(t) \cdot \left( G - f(t) \right)$

Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren "Trennung der Variablen" lösen:

$\int\frac{1}{f(t)\left( G - f(t) \right)}\operatorname{df}=\int k \cdot \operatorname{dt} + C$

Die Partialbruchzerlegung der linken Gleichungsseite ergibt (für $G\neq0$ ):

$\int \frac{1}{f(t)\left( G - f(t) \right)}\operatorname{df} = \int\left[\frac{1}{G}~\left(\frac{1}{f(t)} + \frac{1}{G - f(t)}\right)\right]\operatorname{df} = \frac{1}{G}~\int\left(\frac{1}{f(t)} + \frac{1}{G - f(t)}\right)\operatorname{df}$

Die Ausgangsgleichung wird mit $\,G\,$ multipliziert und die Konstante $G\cdot C$ als $\,D\,$ benannt:

$\int\left(\frac{1}{f(t)} + \frac{1}{G - f(t)}\right)\operatorname{df}= G \cdot k \int\operatorname{dt} + D$

Die Integrale auf beiden Seiten können gelöst werden:

$\int\left(\frac{1}{f(t)} + \frac{1}{G - f(t)}\right)\operatorname{df} =\ln\left|f(t)\right| - \ln\left|G - f(t)\right| = \ln\left|\frac{f(t)}{G - f(t)}\right| =kGt + D$

Auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden und den Kehrwert bilden:

$\frac{G - f(t)}{f(t)}=\frac{G}{f(t)}-1=c\cdot e^{-kGt}$

Hier kann man die Integrationskonstante $c\,$ in Abhängigkeit von $f(0)\,\neq\,0$ ermitteln:

$\frac{G}{f(0)}-1=c$

Zuletzt wird nach $\,f(t)\,$ aufgelöst und man hat im Fall $G\neq0$ die obige Lösung.

Für $G\,=\,0$ und $k\neq0$ erhält man mit der Integrationskonstante $c\,\in\,\mathbb{R}$ die Lösung $f(t) = \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{t\,-\,c}$

Für $k=0\,$ erhält man die Lösung $f(t)=c\,$ .

Berechnung des Wendepunkts

$f'(t) = k \cdot f(t) \cdot (G - f(t))$

$f''(t) = k \cdot f'(t) \cdot (G - f(t)) + k \cdot f(t) \cdot (- f'(t)) = k \cdot f'(t) \cdot (G - f(t) - f(t))$

$f''(t) = k \cdot f'(t) \cdot (G - 2 \cdot f(t))$

$f''(t_W) = k \cdot f'(t_W) \cdot (G - 2 \cdot f(t_W)) = 0$

$G - 2 \cdot f(t_W) = 0$

$G = 2 \cdot f(t_W)$

$f(t_W) = \frac{G}{2}$
Im Wendepunkt überschreitet die Population gerade die halbe Sättigungsgrenze.

$G \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot G \cdot t_W} \cdot \left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)} = \frac{G}{2}$

$2 = 1+e^{-k \cdot G \cdot t_W} \cdot \left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)$

$1 = e^{-k \cdot G \cdot t_W}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)$

$e^{k \cdot G \cdot t_W} = \left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)$

$k \cdot G \cdot t_W = \ln\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)$

$t_W = \frac{\ln\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}{k \cdot G}$

Durch Einsetzen von $f(t_W) = \frac{G}{2}$ in die erste Ableitung erhält man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

$f'(t_W) = k \cdot \frac{G}{2} \cdot \left(G - \frac{G}{2} \right) = k \cdot \frac{G}{2} \cdot \frac{G}{2}$

$f'(t_W) = \frac{k \cdot G^2}{4}$

weitere Darstellung

$f(t)=G \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}$

$f(t)=G \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot G \cdot t}\cdot \frac{G}{f(0)} - e^{-k \cdot G \cdot t}} \cdot \frac{f(0)}{f(0)} = \frac{G \cdot f(0)}{f(0)+e^{-k \cdot G \cdot t}\cdot G - e^{-k \cdot G \cdot t} \cdot f(0)}$

$f(t)=\frac{G \cdot f(0)}{f(0)+ \left( G - f(0) \right)\cdot e^{-k \cdot G \cdot t}}$

Anwendung

Eine Anwendung findet die Logistische Funktion auch im SI-Modell der mathematischen Epidemiologie.

Siehe auch

Logistische Regression

Literatur

Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
Draper, Norman R. und Smith Harry: Applied Regression Analysis, Wiley-Interscience, 1998 ISBN 0471170828
Volker Oppitz/Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung, Carl Hanser Verlag 2003, 400 S., ISBN 3446224637
Volker Oppitz: Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung, Gabler-Verlag 1995, 629 S., ISBN 3409199519
Schönfeld, Peter: Methoden der Ökonometrie, Berlin, Frankfurt, 1969

Kategorie: Theoretische Biologie

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