Kaplan-Meier-Schätzer

Der Kaplan-Meier-Schätzer (auch Produkt-Limit-Schätzer) dient zum Schätzen der Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuchsobjekt ein bestimmtes Ereignis innerhalb eines Zeitintervalls nicht eintritt.

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Inhaltsverzeichnis

1 Rechenvorschrift
- 1.1 Beispiel
2 Weitergehende Themen
- 2.1 Varianz
- 2.2 Konfidenzintervall

Rechenvorschrift

Der Kaplan-Meier-Schätzer ist definiert durch:

$\hat S(t)=\prod_{t_{(i)}\leq t} \frac{n_i-d_i}{n_i}$

mit

$\hat S(0)=1$

und

$d i =$ Versuchobjekte, bei denen das Ereignis zum Zeitpunkt $t (i)$ eingetreten ist

$n i =$ Versuchsobjekte zum Zeitpunkt $t (i)$ unter Risiko

Beispiel

Zugrundeliegend soll folgende Tabelle sein:

Objekt Nr	Zeit(Tage)	Zensiert (1=Nein/0=Ja)	Unter Risiko n	S(i)
#1	1	0	15	1
#2	12	1	14	0,92¹
#3	22	0
#4	29	1	12	0,85²
#5	31	1	11	0,77
#6	36	0
#7	38	0
#8	50	0
#9	60	0
#10	61	1	6	0,64
#11	70	1	5	0,51
#12	88	0
#13	99	0
#14	110	0
#15	140	0

$S(12)=\frac{14-1}{14}$

$S(29)=\frac{12-1}{12} \times \frac{14-1}{14}$

Weitergehende Themen

Varianz

Die Varianz des Schätzers kann im Intervall $t_k \leq t \le t_{k+1}$

mittels

$var \{ \hat S (t) \} \approx [\hat S(t)]^2 \left\{ \sum_{i=1}^k \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)} \right\}$

geschätzt werden.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall kann wie gewohnt aus der Varianz bzw. dem Standardfehler berechnet werden.

$s.e.\{ \hat S (t) \} \approx [\hat S(t)] \left\{ \sum_{i=1}^k \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)} \right\}^\frac{1}{2}$

Diese Formel wird auch als Greewood's formular bezeichnet.

Das 95%-Konfidenzintervall ist somit : $[\hat S (t) - 1,96 \times s.e.\{ \hat S (t) \};\hat S (t) + 1,96 \times s.e.\{ \hat S (t) \}]$

Siehe auch:

Überlebenszeitanalyse
Zensierte Daten
Log Rank Test
Cox-Regression

Kategorie: Medizinstatistik

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