Irrtumswahrscheinlichkeit

Bei jedem Test wird von einem Ergebnis auf den tatsächlichen Zustand des Testobjekts geschlossen (siehe dazu Bayes'sche Wahrscheinlichkeitstheorie). Dieser Schluss unterliegt einer gewissen Unschärfe und kann niemals mit absoluter Sicherheit geschehen. Der Anteil der falschen Testergebnisse an allen Testergebnissen wird als Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet. Das Gegenteil, also der Anteil der richtigen Testergebnisse, ist die Irrtumsunwahrscheinlichkeit oder die Vertrauenswahrscheinlichkeit.

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Diese Fehler werden in Fehler 1. und 2. Art (α-Fehler und β-Fehler) unterteilt. Je nach Testsituation kann die Fehlerursache in zufälligen Schwankungen (z.B. bei Signifikanztests), menschlichem Versagen (z.B. Vertauschen von Proben bei medizinischen Tests) oder technischen Unzulänglichkeiten (z.B. maschinelle Zugangskontrollen) begründet sein.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt jedoch nicht an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das genannte Testergebnis stimmt, d.h. ein positives medizinisches Testergebnis, das von einem Test mit 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit erzeugt wurde, ist nicht automatisch mit 1-prozentiger Wahrscheinlichkeit falsch und 99-prozentiger Wahrscheinlichkeit richtig. Das liegt daran, dass man nach dem Test zusätzlich die Information hat, wie der Test ausgegangen ist, und die Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit je nach Ausgang des Tests verschieden ist.

Dazu ein Beispiel: Eine Krankheit tritt bei einer von 1 000 Personen auf. Ein medizinischer Test hat eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 %, liefert also bei 99 von 100 Tests das richtige Ergebnis. An 100 000 Personen wird eine groß angelegte Reihenuntersuchung durchgeführt.

Insgesamt lieferte der Test 99 + 999 = 1 098 positive Resultate. Nur 99 davon waren richtig. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem positiven Befund auch tatsächlich krank zu sein, liegt hier also bei 99/1 098, also rund 9 Prozent!

Von den 1 + 98 901 negativen Resultate hingegen ist nur 1/98 902 falsch, und die Wahrscheinlichkeit, bei einem negativen Befund tatsächlich gesund zu sein, liegt damit bei 99,999 Prozent.

Fasst man beide Fälle zusammen, erhält man wieder die Irrtumswahrscheinlichkeit (1 + 999) / (1 + 99 + 999 + 98 901) = 1%. Wegen der Seltenheit der Krankheit ist also ein negatives Testergebnis wesentlich sicherer richtig als ein positives; sobald die Krankheit häufiger wird, nähern sich beide Zahlen an die Irrtumsunwahrscheinlichkeit 99% an.

Bei den Wahrscheinlichkeiten, bei einem positiven Befund krank bzw. bei einem negativen Befund gesund zu sein, handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Siehe auch

• Beurteilung eines Klassifikators, Absolute Häufigkeit, Falsch positiv

Literatur

• H.-P. Beck-Bornholdt, H.-H. Dubben: Der Hund, der Eier legt. Erkennen von Fehlinformation durch Querdenken. ISBN 3-499-61154-6
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis. Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. ISBN 3-827-00079-3