FitzHugh-Nagumo-Modell

Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (* 1922)) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, z.B. eines Neurons. Wenn die äußere Anregung $I ext$ einen Schwellenwert ueberschreitet, führt das System eine charakteristiche Exkursion im $(v, w)$ -Phasenraum aus, bevor die Variablen $v$ und $w$ zu ihren Ruhewerten $(v 0, w 0)$ zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung $v$ ) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom $I ext$ .

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Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten

$\dot{v}=v-v^3 - w + I_{\rm ext}$

$\tau \dot{w} = v-a-b w$

Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt $(v 0, w 0)$ (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der $\dot{v}$ - und der $\dot{w}$ -Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt ( $I_{\rm ext} \neq 0$ ), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen $τ > > 1$ gilt $\dot{v} >> \dot{w}$ . Sobald die Trajektorie die kubische $\dot{v}$ -Nullkline erreicht, sinkt $\dot{v}$ rapide und die Trajektorie folgt der $\dot{v}$ -Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der $\dot{v}$ -Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der $\dot{v}$ -Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.

Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für $a = b = 0$ enthält.

Literatur

FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257--278
FitzHugh R. (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J. 1:445-466
FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1-85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y.)
Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE. 50:2061–2070.

Kategorien: Theoretische Biologie | Neuroinformatik

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