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Buckinghamsches Π-TheoremDas Buckinghamsche Π-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867–1940) ist ein grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse. Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Größen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Größen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabhängigen Grundgrößen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche Π-Theorem möglich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrößen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
Ermittlung der EinflussgrößenDie Ermittlung der Einflussgrößen, die ein physikalisches Problem beschreiben, stellt die Schwierigkeit bei der Anwendung des Buckinghamschen Π-Theorems dar. In dieser Phase ist Intuition und/oder physikalischer Sachverstand erforderlich. Bei einer konsistenten Wahl der Einflussgrößen ist eine Umwandlung in n - m dimensionslose Größen jedoch immer möglich. Dabei können auch Naturkonstanten (bspw. die Lichtgeschwindigkeit) eine Rolle spielen. Eine Umwandlung der dimensionsbehafteten Einflussgrößen in dimensionslose Kenngrößen ist nur möglich, wenn jede Grunddimension in mindestens zwei dimensionsbehafteten Einflussgrößen des physikalischen Systems vorkommt. Diese Voraussetzung ist notwendig aber nicht hinreichend. Falls sich herausstellt, dass eine Umwandlung nicht möglich ist, bedeutet dies, dass entweder zu viele, zu wenig oder die falschen Einflussgrößen gewählt wurden. Ungeachtet dessen können bei einer geglückten Umwandlung jedoch auch wichtige Einflussgrößen vergessen und überflüssige Größen verwendet worden sein. BeispieleReibungsfreies PendelMan kann für kleine Auslenkungen ( 5°) die Pendellänge l, die Erdbeschleunigung g, sowie die Masse m als die drei wesentlichen beschreibenden Größen für die Schwingungsdauer t eines Pendels annehmen (n=4). Es sollen die Grunddimensionen L Länge (SI-Einheit: m), M Masse (SI-Einheit: kg) und T Zeit (SI-Einheit: s) verwendet werden (m=3). Es gilt damit für die Grunddimensionen der Einflussgrößen: l Dimension L; g Dimension L/T2; m Dimension M; t Dimension T. Der Produktansatz
kann nur dimensionslos werden, wenn
und somit
gilt. Wegen (1) und (4) ist die Masse entgegen der obigen Annahme ohne Bedeutung für die Schwingungsdauer. Dies ist ein erstes Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems. Da x1, x2 und x4 lediglich durch die zwei Gleichungen (3) und (5) bestimmt werden, kann eine beliebige der drei Unbekannten frei (aber ungleich 0) gewählt werden (bspw. x4 = 1). Dann gilt:
Zur Beschreibung des gesuchten Zusammenhangs genügt wegen n-m = 1 eine einzige und dimensionslose Größe. Diese wird mit (1) und (6) zu:
Da keine weiteren dimensionslosen Größen beteiligt sind, muss als Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems
gelten. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann mit einem einzigen Versuch zu const = 6,283... bestimmt werden, und man erhält
als Schwingungsdauer. Man beachte, dass dieser Zusammenhang ohne Verwendung der zugrunde liegenden Differentialgleichung der Bewegung des Pendels ermittelt wurde. Eine Lösung dieser Differentialgleichungen liefert das analoge Ergebnis
Die Deutung der Proportionalitätskonstante als const = 2π () kann weder das Buckinghamsche Π-Theorem noch der Versuch liefern.
Feder-Masse-PendelGeht man zur Berechnung der Schwingungsdauer t eines Feder-Masse-Pendels von der Masse m und der Federsteifigkeit c als wesentliche Parameter aus, kann der folgende Ansatz verwendet werden: Da in diesem Ansatz nur die Dimensionen Masse M und Zeit T vorkommen, lassen sich lediglich zwei Gleichungen:
für die drei Unbekannten x1,x2,x3 ableiten. Mit der Annahme folgen und . Setzt man die Ergebnisse für x1,x2,x3 in den Ansatz ein, erhält man und damit
Die Herleitung dieses Zusammenhanges aus der Bewegungsgleichung ist unter Harmonische Schwingung beschrieben. Rotierender RingFür die Spannungen σ, die in einem rotierenden Ring entstehen, wird eine Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit ω, dem Radius r und der Dichte ρ angenommen (n=4). Der sich daraus ergebende Ansatz kann nur dimensionslos werden, wenn für die hier verwendeten m=3 Grunddimensionen (L Länge, M Masse, T Zeit) und somit
gilt. Für die vier Unbekannten (x1,x2,x3,x4) stehen nur 3 Gleichungen zur Verfügung. Das Gleichungssystem wird mit der willkürlichen Annahme x1 = 1 eindeutig. Aus (1) und (2) folgen x2 = − 1 und x3 = − 2. Mit (3) kann x4 = − 2 bestimmt werden. Das Π-Theorem besagt also:
Die Spannung σ hängt also linear von der Dichte und quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius ab. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann nicht mit dem π-Theorem bestimmt werden. Literatur
Siehe auch
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