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Bedingte WahrscheinlichkeitBedingte Wahrscheinlichkeit (auch konditionale Wahrscheinlichkeit) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B bereits vorher eingetreten ist. Es wird geschrieben als P(A | B), der senkrechte Strich ist als "unter der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn das Ereignis B eingetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A gegeben durch P(A | B), es handelt sich also nicht um eine (logische) Bedingung für A. Manchmal wird auch die Schreibweise PB(A) verwendet, die jedoch auch andere Bedeutungen haben kann. Für einen verallgemeinerten, abstrakten Begriff von bedingten Wahrscheinlichkeiten siehe Bedingter Erwartungswert. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
Zwei EreignisseWenn A und B beliebige Ereignisse sind, und P(B) > 0 ist, dann gilt Es ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit (oder Verbundwahrscheinlichkeit), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam auftreten. Die Verbundwahrscheinlichkeit wird teilweise auch einfach P(A,B) geschrieben. Es gilt durch Umformen natürlich auch: Wenn A und B jedoch stochastisch unabhängig sind, dann gilt Sind nur bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses bekannt, ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit von A aus: wobei das Komplement von B bezeichnet. n EreignisseMan betrachte dazu den multivariaten Fall mit mehr als zwei Zufallsereignissen:
Verallgemeinert man den obigen Ausdruck, der für zwei Variablen gilt, erhält man den allgemeinen Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten:
Besonders anschaulich ist hier das Rechnen mit einem Entscheidungsbaum, da hier das Diagramm gleichsam "mitrechnet": die Daten sind leicht einzusetzen, und man wird sequentiell an den richtigen Rechengang heran geführt. Beispiele findet man im Artikel Bayes-Theorem. Stetige ZufallsvariableFür zwei Zufallsvariablen X, Y mit gemeinsamer Dichte fX,Y ist eine Dichte fY von Y gegeben durch . Falls fY(y) > 0, kann man eine bedingte Dichte fX | Y von X, gegeben Y, definieren durch
Eine Dichte von X erhält man dann aus der Formel
Mit dieser Form des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich aus der gemeinsamen Dichte fX,Y durch Integration über y die Dichte fX unabhängig von Y bestimmen. Dieser Vorgang wird als Marginalisierung bezeichnet. Hierbei ist zu beachten, dass standardmäßig Dichten, die die gleichen Integralwerte liefern, dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentieren. Dichten sind daher nicht eindeutig festgelegt. Eine zulässige Wahl für fX,Y, fX, und fY ist jede messbare Funktion, die im Integral die korrekten Wahrscheinlichkeiten für , bzw. für beliebige A, B ergibt. Von der Funktion fX | Y wird verlangt, dass sie die Bedingung erfüllt. Die oben angegebenen Formeln gelten somit nur bei passender Wahl der verschiedenen Dichten. BeispieleJunge oder MädchenEine Mutter hat zwei Kinder und wird nach dem Geschlecht der Kinder gefragt. Fall 1 dient Vergleichszwecken und basiert nicht auf bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Das zunächst überraschende Ergebnis lässt sich mit der folgenden Tabelle bestimmen. Die ersten beiden Spalten zeigen, welche Möglichkeiten bei zwei Kindern bestehen: Das Erstgeborene kann ein Junge oder ein Mädchen sein, das Zweitgeborene kann ebenfalls ein Junge oder ein Mädchen sein, insgesamt gibt es bei den Geschlechtern vier Kombinationen. Spalte 3 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 1, davon ausgeht, dass das erste Kind ein Mädchen sein muss – die Zeilen 1 und 2 sind dann nicht möglich. Spalte 4 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 2, davon ausgeht, dass wenigstens eines der beiden Kinder ein Mädchen ist.
Einfaches Abzählen zeigt, dass in Fall 1 eine von zwei Möglichkeiten auf ein Mädchen, aber in Fall 2 nur eine von drei Möglichkeiten auf ein Mädchen hinweist. Weitere Beispiele
Siehe auch
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Bedingte_Wahrscheinlichkeit aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |